Aplicación de Geometría: mosaicos

Como aplicación de la geometría plana es posible resolver un problema que se nos puede plantear en nuestra vida cotidiana: ¿cómo conseguir embaldosar un comedor, un paseo,... utilizando un número finito de figuras iguales sin dejar huecos?

Si queremos que estas figuras usadas sean polígonos regulares, sólo es posible hacerlo con cuadrados, triángulos equiláteros y hexágonos regulares, de la siguiente forma:

Aunque también podríamos hacer el embaldosado combinando varias de estas figuras. Por ejemplo, con triángulos equiláteros y hexágonos regulares podemos obtener el siguiente enlosado:

Con estos cubrimientos del plano obtenemos lo que se denomina un mosaico.

Algunos estudiosos de la Historia afirman que los mosaicos más antiguos que se conocen eran elaborados por artesanos griegos (también persas y egipcios) a base de guijarros en el siglo VIII a.C. y cubrían calles y plazas (aunque, algunos historiadores fijan su origen en Mesopotamia hacia el 3000 a.C.). Los romanos perfeccionaron la técnica de su elaboración. En la Alhambra de Granada se puede disfrutar de mosaicos de increíble colorido y belleza en sus patios, paredes y columnas.

Hay muchas formas de elaborar mosaicos, algunos de una complejidad importante, como los de M.C. Escher.

Vemos a continuación una de las formas de construir mosaicos triangulares, a partir de un triángulo equilátero.

1. Partiendo de un triángulo equilátero, marcamos en cada lado la mitad, recortamos un trozo con la forma que queramos de una de las mitades. 

Como se observa fácilmente en la figura anterior, el trozo recortado no tiene porqué ser el mismo en los tres lados.

2. En cada uno de los lados, mediante un giro de 180º,  añadimos el trozo recortado a la otra mitad del lado. Y de esta forma, se obtiene una figura con la que es posible embaldosar cualquier habitación o cubrir cualquier plano.

Una vez efectuados los tres pasos anteriores, si se construyen varias losetas iguales a la obtenida, se pueden encajar sin quedar huecos entre ellas, y creando el mosaico triangular para ir cubriendo el plano.

Como curiosidad, al utilizar la técnica anterior recortando en la mitad de cada lado del triángulo equilátero un semicírculo, se obtienen los mosaicos que adornan la sala de los baños reales de la Alhambra.

Vemos ahora otra forma de construir mosaicos, en este caso mosaicos cuadrados.

1. Partiendo de un cuadrado, recortamos la figura que queramos de uno de sus  lados.

2. Mediante un giro de 90º sobre uno de los vértices, lo colocamos sobre el lado adyacente.

3. Repitiendo el proceso en los otros dos lados, se obtiene la figura siguiente.

 Del mismo modo que en la técnica anterior, encajando varias losetas como la obtenida en este proceso se puede cubrir el plano mediante un mosaico.

El mosaico que se obtiene con esta loseta es el que se muestra en la siguiente figura.