Círculos y cuadrados inscritos.

Demuestra que la superficie de las regiones marcadas con la letra a en la figura siguiente, es el doble de la superficie de las marcadas con la letra b.

Solución:

Llamamos r al radio del círculo exterior.

El radio del círculo mayor es r, por lo que la diagonal del cuadrado mayor, inscrito en dicho círculo, es 2r. Utilizamos el teorema de Pitágoras llamando l al lado de este cuadrado:

l² + l² = (2 r)²; 2 l² = 4 r²; l² = 2 r²

El área del círculo mayor menos el área del cuadrado mayor será la superficie de las regiones marcadas con la letra a. Por tanto, dicha superficie es:

El lado del cuadrado mayor coincide con el diámetro del círculo menor, de lo que podemos deducir el radio de éste:

De esta forma, podemos calcular la superficie de este círculo:

Como el diámetro del círculo menor coincide con la diagonal del cuadrado menor, podemos utilizar de nuevo el teorema de Pitágoras, llamando l´ al lado de dicho cuadrado, y calcular su área:

Así, como el área del círculo menor menos el área del cuadrado menor es la superficie de las regiones marcadas con la letra b, dicha superficie es:

Por tanto, queda probado que la superficie de las regiones marcadas con la letra a es el doble de la superficie de las marcadas con la letra b.