lunes, 22 de junio de 2015

Geometría y Construcción.

La Construcción y las Matemáticas han estado ligadas desde la más remota antigüedad.


No hay más que pensar en construcciones como las pirámides egipcias en las que debieron utilizarse algunos conceptos trigonométricos para conseguir que sus caras tuviesen la misma pendiente; o en algunas proporciones que guardan sus dimensiones, como la Sala del Rey en la pirámide de Keops, cuya base es un doble cuadrado y cuya altura es la mitad de la longitud de la base. O el número áureo, que aparece en gran número de construcciones de la Grecia Antigua, donde también se utilizaban otras proporciones en la construcción de fustes y columnas.


En la Edad Media, con el incremento en la construcción de castillos, iglesias y catedrales, se avanzó en la aplicación de la Geometría en la Arquitectura, con la utilización de bóvedas cilíndricas, arcos punteados y muros, cuyo grosor debía mantener ciertas proporciones para que estas grandes construcciones no se derrumbaran.

Sin el desarrollo de la Geometría Euclídea, la Descriptiva, la Proyectiva, el estudio de las Cónicas o el Cálculo integral, posiblemente, Le Corbusier, Gaudí o Calatrava no hubieran llegado a diseñar sus grandes obras.

La Arquitectura más antigua ya utilizaba un concepto geométrico, la simetría, como canon de armonía y perfección, y se utilizaba en plantas de edificios, fachadas y frisos.

Desde hace tiempo, es muy utilizado el concepto de isometría, movimiento en el plano, y se analizan las isometrías que aplicadas a una figura la mantienen invariante.

Con el avance de la Geometría y con la elaboración de materiales más flexibles y fáciles de manejar, las curvas y superficies han pasado a ser protagonistas importantes en la Arquitectura.


ALGUNAS CURVAS

La catenaria es la curva que describe un cable sujeto por sus extremos cuando está sometido solamente a una fuerza, que es la de su propio peso.

Si se considera (0, h) como su punto mínimo, es decir, que h es la distancia desde el origen a la curva, la ecuación de la catenaria es:



La catenaria fue utilizada por Gaudí en la Casa Milá y en la Casa Batlló. También la utilizó Saarinen en el Dulles International Airport, Chantilly, Virginia.

Casa Batlló

Casa Milá

La elipse, curva plana y cerrada, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos puntos fijos del plano, denominados focos, es constante.

La ecuación de una elipse cuyo centro es el punto (x0, y0) y cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados es:



La elipse fue utilizada por Rafael Viñoly en el Foro Internacional de Tokio y por Norman Foster en el Ayuntamiento de Londres.

Ayuntamiento de Londres

La parábola, curva plana no cerrada, es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta, denominada directriz.

Si el vértice de una parábola es (x0, y0), su eje de simetría es paralelo al eje Y, y la distancia entre el foco y la directriz es p, la ecuación de esta curva es:


La parábola aparece en el Golden Gate de San Francisco, obra de Joseph Strauss, en el Puente de Pedrido en la Coruña, realizado por Eduardo Torroja, y en el Puente de la Alameda en Valencia, obra de Santiago Calatrava.
Golden Gate

ALGUNAS SUPERFiCiES REGLADAS

También se utilizan en las construcciones las superficies regladas, aquellas que se obtienen mediante el movimiento de una recta a través de un determinado recorrido (por ejemplo, si una recta recorre una circunferencia situada en un plano perpendicular a la recta, se obtiene un cilindro).

Son muchas las superficies regladas que se utilizan: hiperboloides, paraboloides, helicoides, conoides, sinusoides, etc.

El paraboloide hiperbólico es la superficie formada por las rectas que se apoyan ordenadamente en dos rectas que se cruzan en el espacio. Esta superficie es conocida como silla de montar y su ecuación es:



El paraboloide hiperbólico aparece en el techo de la Sagrada Familia de Gaudí, en el restaurante Los Manantiales y en el Oceanogràfic de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia, obras de Félix Candela.

Oceanografic en Valencia

Sagrada Familia

El hiperboloide es la superficie que se genera al girar una hipérbola alrededor de uno de sus ejes de simetría. Es de una hoja cuando el giro es alrededor del eje conjugado, mientras que si se rota alrededor del eje transversal es un hiperboloide de dos hojas.

La ecuación del hiperboloide de una hoja o hiperboloide elíptico es:



La ecuación del hiperboloide de dos hojas o hiperboloide parabólico es:



El hiperboloide aparece en la estación de autobuses en Casar de Cáceres, en la catedral de Brasilia, obra de Oscar Niemeyer y en la Torre de control del Prat, en Barcelona, obra de Ricardo Bofill.

Catedral de Brasilia

El conoide se define como la superficie engendrada por una recta que se mueve paralela a un plano, apoyándose en una curva y en otra recta. Es decir, todas las rectas que se apoyan en una recta r, son perpendiculares a r y se apoyan en una curva c, forman un conoide.

Como ejemplo, la ecuación de un conoide generado por una recta paralela al plano OYZ, que pase por el eje X y por un arco AA´ de un círculo de radio r situado en el plano y = b, es:

siendo 2a la longitud de la cuerda AA´.

 El conoide se muestra en la cubierta modular de la Feria de Valencia, obra de José María Tomás Llavador y en la parroquia St. Antoni Mª Claret, en Sant Boi.

Además de esta pequeña muestra, existen otras muchas curvas y superficies regladas utilizadas en la construcción. Existe, por tanto, una vinculación muy fuerte entre la generación de curvas y superficies con la arquitectura y el diseño, hecho que motiva y anima para seguir con el estudio de construcciones geométricas.

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