Aproximación de un número irracional.

Si se pretende expresar en forma decimal un número irracional, al tener infinitas cifras decimales no periódicas, es imposible dar su valor exacto.

Podemos realizar una aproximación, de distintas maneras:

- Mediante una expresión decimal infinita.

- Una aproximación por defecto, mediante una sucesión de números decimales que se aproximan al número buscado, siendo menores que él.

- Una aproximación por exceso, mediante una sucesión de números decimales que se aproximan al número buscado, siendo mayores que él.

- Con una serie de intervalos encajados, cada uno de ellos contenido en el anterior, y de forma que todos ellos contienen al número buscado.

Veamos con un solo ejemplo, cómo hacer todas estas aproximaciones para un número irracional:

Consideramos los números 1, 2, 3, 4… y vamos calculando sus cuadrados hasta encontrar uno que sea mayor que 2.

Fácilmente deducimos que:

Fijándonos en que 1 es el valor menor de la aproximación, consideramos ahora los números decimales 1,1; 1,2; 1,3; 1,4;… y repetimos el proceso anterior del cálculo de sus cuadrados hasta encontrar uno mayor que 2.

Deducimos ahora que:

Y repetimos el proceso anterior, con los cuadrados de los números 1,41; 1,42; 1,43; 1,44;…, y así sucesivamente.

Con este proceso, obtenemos las siguientes aproximaciones:

Así, la aproximación por defecto, sería la sucesión 1; 1,4; 1,41; 1,414;… formada por números que se aproximan a nuestro irracional, siendo menores que el.

Por otro lado, la aproximación por exceso, sería la sucesión 2; 1,5; 1,42; 1,415;… formada por números que se aproximan a nuestro irracional, siendo mayores que el.

La aproximación por intervalos encajados es la sucesión:

[1,2], [1,4; 1,5], [1,41; 1,42], [1,414; 1,415],… 

Está formada por intervalos que contienen a nuestro irracional y cada uno de ellos está contenido en el anterior.

La aproximación decimal infinita de nuestro irracional sería 1,414…