Definición de un radical y sus propiedades.

Se dice que b es la raíz n-ésima de a si se tiene que:

Y significa que bⁿ = a.

Del mismo modo:

Y, aplicando propiedades de las potencias, deducimos que se cumple lo siguiente:

(b ⁿ)^1/n = (a^m)^1/n

b ^n/n = a^m/n

b = a^m/n

Por tanto, se puede definir un radical como una potencia de exponente fraccionario, de la forma siguiente:

Al número n se le llama índice del radical y a^m recibe el nombre de radicando.

Ejemplos:

Los radicales cumplen las propiedades siguientes:

Propiedad 1.

Si n y m son divisibles por un mismo número p, se puede simplificar el radical de la forma siguiente:

Ejemplos:

Propiedad 2.

Para cualquier valor de n se cumple que:

Ejemplos:

Propiedad 3.

Para cualesquiera valores de n y p, se cumple:

En efecto, según las propiedades de las potencias, se cumple que    a ^{n + p}  = a ⁿ · a ^p y, utilizando la propiedad 2, deducimos el resultado anterior.

Ejemplos:

Propiedad 4.

Para cualesquiera valores de m, n y p, se cumple:

Ejemplos:

Propiedad 5.

Dada una serie de radicales con índices distintos, podemos reducirlos a índice común; es decir, obtener radicales equivalentes a ellos y todos con el mismo índice. Basta con tomar como índice el mínimo común múltiplo de los distintos índices y tener en cuenta lo siguiente:

Ejemplo:

Consideramos los siguientes radicales:

El mínimo común múltiplo de los índices (3, 2 y 4) es 12. Así, los radicales con índice 12 equivalentes a los dados son:

Es decir: