División de un polinomio
entre un número real.
Para dividir un
polinomio P (x) entre un número real m se divide cada uno de los coeficientes
de P (x) entre m.
Es decir, si P (x) =
a0 + a1 x + a2 x2 + … + an
xn, se tiene que:
P (x): m = (a0
/m) + (a1 /m) x + (a2 /m) x2 + … + (an
/m) xn
Ejemplos:
a) (5 – 15 x + 25 x3
– 45 x5):(- 5) = - 1 + 3 x - 5 x3 + 9 x5
b) (3 + 12 x2
+ 7 x3 – 42 x4):3 = 1 + 4 x2 + (7/3) x3
– 14 x4
División de dos monomios.
Para dividir entre
sí dos monomios tenemos que dividir sus coeficientes y su variable, teniendo en
cuenta las propiedades de las potencias. Es decir:
(a xn):(b xm) = (a/b) xn
– m
Ejemplos:
a) 8 x5 :
2 x2 = (8/2) x5 – 2 = 4 x3
b) - 14 x7
: 2 x3 = (- 14/2) x7 – 3 = - 7 x4
c) 12 x6
: 15 x4 = (12/15) x6 – 4 = (4/5) x2
División de dos polinomios.
Para ver los
sucesivos pasos que deben realizarse en la división de dos polinomios, nos
apoyaremos en un ejemplo.
Vamos a dividir el
polinomio 12 x5 + 12 x4 – 33 x2 + 10 – 50 x
entre 3 x2 + 3 – 9 x.
Paso 1: ordenamos ambos polinomios de mayor a menor
grado, teniendo en cuenta que, si no existe el término de algún grado
intermedio en el dividendo, pondremos cero en el lugar correspondiente.
Paso 2: dividimos el monomio de mayor grado del
dividendo entre el monomio de mayor grado del divisor (12 x5 : 3 x2
= 4 x3) y colocamos el resultado en el cociente.
Paso 3: multiplicamos este monomio del cociente por
cada monomio del divisor y colocamos los resultados cambiados de signo bajo
cada monomio del mismo grado del dividendo y los sumamos con el dividendo.
Paso 4: Repetimos el mismo proceso (48 x4
: 3 x2 = 16 x2), añadiendo el resultado al cociente,
volviendo a multiplicarlo por cada monomio del divisor y sumando los resultados
cambiados de signo.
Paso 5: Repetimos el mismo proceso (132 x3
: 3 x2 = 44 x), añadiendo el resultado al cociente, volviendo a
multiplicarlo por cada monomio del divisor y sumando los resultados cambiados
de signo.
Paso 6: Repetimos el mismo proceso (315 x2
: 3 x2 = 105), añadiendo el resultado al cociente, volviendo a
multiplicarlo por cada monomio del divisor y sumando los resultados cambiados
de signo.
Aquí habríamos
terminado la división, ya que el grado de 763 x es menor que el grado de 3 x2.
Por tanto, la
división ha resultado tener como cociente
el polinomio 4 x3 + 16 x2 + 44 x + 105 y como resto 763 x -305.
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