1. Clasifica los polinomios
siguientes según su grado y el número de términos que lo componen:
a) 5 x4 + 2 x2
– 7
b) - 3 x + 7 x2 – x3
+ 5
c) 5 x3 – 6 x
d) 18 x6
e) 6 + 8 x2
Solución:
a) Es un trinomio de
cuarto grado.
b) Es un cuatrinomio
de tercer grado.
c) Es un binomio de
tercer grado.
d) Es un monomio de
sexto grado.
e) Es un binomio de
segundo grado.
2. Calcula los valores de a y b
para que sean iguales los polinomios P(x) y Q(x) siguientes:
P(x) = 6 + 2 a x2 – 8 x3 + 9 x4
Q(x) = 3 b + 8 x2 – 4 b x3 + 9 x4
Solución:
Para que sean
iguales, han de ser iguales entre sí todos los coeficientes correspondientes a
términos del mismo grado. Por tanto, debe cumplirse que:
6 = 3 b; 2 a = 8; - 8 = - 4 b
Despejando en las
condiciones anteriores, se obtiene fácilmente que a
= 4 y b = 2.
3. Halla el valor numérico del
siguiente polinomio en los valores x = 3 y en x = - 1.
P(x)
= 2 x3 – 3 x2 – 7 x + 10
Solución:
El valor numérico en
x = 3 es:
P(3)
= 2·33 – 3·32 – 7·3 + 10 = 54 – 27 – 21 + 10 = 16
El valor numérico en
x = - 1 es:
P(- 1) = 2·(- 1)3 – 3·(- 1)2 – 7·(- 1) + 10 =
= 2·(- 1) – 3·1 –
7·(- 1) + 10 = - 2 – 3 + 7 + 10 = 12
4. ¿Cuánto valdrá la suma de
los coeficientes del polinomio que resulta al efectuar la siguiente
multiplicación?
(6
x3 – 2 x2 + 5 x – 6)·(-5 x2 + 7 x + 1)
Solución:
Basta para resolver
el ejercicio tener en cuenta que la suma de los coeficientes de un polinomio
coincide con el valor numérico de dicho polinomio en x = 1.
Por tanto:
(6·1 – 2·1 + 5·1 – 6)·(- 5·1 + 7·1 + 1)=
= (6 -2 + 5 – 6)·(- 5 + 7 + 1) = 3·3 = 9
5. Efectúa:
a)4 x3 · (- 3 + 3 x
+ 5 x3)
b)- 3 x2 · (4 x2
– 3 x3 – 2 x4)
Solución:
a)4 x3 ·
(- 3 + 3 x + 5 x3) = - 12 x3 + 12 x4 + 20 x6
b)- 3 x2
· (4 x2 – 3 x3 – 2 x4) = - 12 x4 +
9 x5 + 6 x6
6. Siendo P(x) = 3 x2
– 4 x + 6 y Q(x) = 5 x – 3, realiza las operaciones siguientes:
a) P(x) + Q(x)
b) Q(x) – P(x)
c) 3·P(x) + 4·Q(x)
d) P(x) · Q(x)
Solución:
a) P(x)
+ Q(x) = (3 x2 – 4 x + 6) + (5 x – 3)=
= 3 x2 – 4 x + 5 x + 6 – 3 = 3 x2 + x + 3
b) Q(x) – P(x)
= (5 x – 3) - (3 x2 – 4 x + 6)=
= 5 x – 3 - 3
x2 + 4 x – 6 = - 3 x2
+ 9 x – 9
c) 3·P(x) + 4·Q(x) = 3·(3 x2 – 4 x + 6) + 4·(5 x –
3)=
= 9 x2
– 12 x + 18 + 20 x – 12 = 9 x2
+ 8 x + 6
d) P(x) · Q(x) = (3 x2 – 4 x +
6) · (5 x – 3)=
= (3 x2 – 4 x + 6)· 5 x + (3 x2
– 4 x + 6)·(– 3)=
= 15 x3 – 20 x2 + 30 x
– 9 x2 + 12 x – 18 =
= 15
x3 – 29 x2 + 42 x – 18
7. Efectúa las siguientes
multiplicaciones:
a) (2 + 4 x – 5 x2)·(-
4 x + 4 x2)
b) (x2 – 6 x3)·(3
x + x2 – 2 x3)
Solución:
a)(2 + 4 x – 5 x2)·(- 4 x + 4 x2)=
=
2·(- 4 x + 4 x2) + 4 x·(- 4 x + 4 x2) – 5 x2·(-
4 x + 4 x2)=
=
- 8 x + 8 x2 – 16 x2 + 16 x3 + 20 x3
– 20 x4 =
=
- 8 x – 8 x2 + 36 x3
– 20 x4
b) (2 x2 – 6 x3)·(4
x + x2 – 2 x3)=
= 2 x2·(4
x + x2 – 2 x3) – 6 x3·(4 x + x2 – 2
x3) =
= 8 x3
+ 2 x4 – 4 x5 – 24 x4 – 6 x5 + 12 x6
=
= 8 x3 – 22 x4 - 10 x5
+ 12 x6
8. Multiplica los polinomios
siguientes:
P (x) = 5 + 3 x + 5 x2
– 4 x3
Q (x) = 1 + 2 x2 – 3
x3
Solución:
9. Efectúa la siguiente
división:
(8 x3 – 22 x4
- 10 x5 + 12 x6):( 2 x2 – 6 x3)
Solución:
10. Efectúa la siguiente
división:
(– 20 x4 + 36 x3
– 8 x2 - 12 x):(– 5 x2 + 4 x + 2)
Solución:
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