Multiplicación de polinomios.

Multiplicación de un polinomio por un número real.

Dado un polinomio cualquiera P (x), para multiplicarlo por un número real m, se multiplica cada uno de los coeficientes del polinomio por m. Es decir:

m· P (x) = m· (a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ) =

= m·a₀ + m·a₁ x + m·a₂ x² + … + m·a_n xⁿ

Ejemplos:

a)3·(5 – 2 x + 7 x³ – x⁵) = 15 – 6 x + 21 x³ – 3 x⁵

b)- 6·(- 2 + 5 x² – 4 x³) = 12 - 30 x² + 24 x³

c)(2/3)·( 6 x + 9 x² – 3 x³) = 4 x + 6 x² – 2 x³

Multiplicación de un monomio por un polinomio.

Para multiplicar un monomio M (x) = a_m x^m por un polinomio cualquiera P (x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ, se multiplica el monomio M (x) por cada uno de los monomios que componen el polinomio P (x), utilizando las propiedades de las potencias. Es decir:

M (x) · P (x) = (a_m x^m) · (a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ) =

= a_m · a₀ x^m + a_m · a₁ x^{m + 1} + a_m · a₂ x^{m + 2} + … + a_m · a_n x^{m + n}

Ejemplos:

a)3 x² · (- 5 + 2 x + 4 x³) = - 15 x² + 6 x³ + 12 x⁵

b)- 4 x³ · (x² – 2 x³ – 3 x⁴) = - 4 x⁵ + 8 x⁶ + 12 x⁷

Multiplicación de dos polinomios.

Para multiplicar dos polinomios P (x) y Q (x), se utiliza la propiedad distributiva de modo que multiplicamos cada uno de los monomios que componen P (x) por el polinomio Q (x). Es decir, que si P (x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ, se tiene que:

P (x) · Q (x) =

= a₀ · Q (x) + (a₁ x)· Q (x) + (a₂ x²)· Q (x) + … + (a_n xⁿ)· Q (x)

Ejemplos:

a) Multipliquemos P (x) = 3 + 4 x – 5 x²  y Q (x) = - 6 x + 4 x²

(3 + 4 x – 5 x²)·(- 6 x + 4 x²) =

= 3·(- 6 x + 4 x²) + 4 x·(- 6 x + 4 x²) – 5 x²·(- 6 x + 4 x²)=

= - 18 x + 12 x² – 24 x² + 16 x³ + 30 x³ – 20 x⁴ =

= - 18 x – 12 x² + 46 x³ – 20 x⁴

b) Multipliquemos P (x) = x² – 6 x³  y Q (x) = 3 x + x² – 2 x³

(x² – 6 x³)·(3 x + x² – 2 x³) =

= x²·(3 x + x² – 2 x³) – 6 x²·(3 x + x² – 2 x³) =

= 3 x³ + x⁴ – 2 x⁵ – 18 x³ – 6 x⁴ + 12 x⁵ =

= - 15 x³ – 5 x⁴ + 10 x⁵

En ocasiones, especialmente cuando queremos multiplicar polinomios con muchos términos, es más práctico colocarlos ordenados respecto de su grado uno encima de otro y multiplicar todos sus términos entre sí (como en la multiplicación de dos números de varias cifras), teniendo cuidado de colocar los términos resultantes del mismo grado por columnas para poderlas sumar.

Ejemplo:

Vamos a multiplicar los polinomios P (x) = 7 + 2 x + 5 x² – 2 x³  y  Q (x) = 2 + 3 x² – 2 x³.