Problema 139

Un número de dos cifras cumple que el producto de los dígitos que lo forman coincide con la tercera parte de dicho número.

¿Cuál es?

Solución:

Sea ab dicho número.

El producto de los dígitos a y b, coincide con la tercera parte del número; es decir, que (b + 10a)/3 = a·b.

Así:

b + 10 a = 3 a· b

b = 3 a · b – 10 a

b = a (3 b – 10)

Como b es un dígito (y a también), para que sea mayor o igual que cero debe cumplirse que 3b – 10 sea mayor o igual que cero. Y para ello, b tiene que ser mayor o igual  que 4.

Por tanto, b debe estar comprendido entre 4 y 9.

Vemos todos los casos, teniendo en cuenta que b = a (3 b – 10):

Si b = 4, entonces 4 = a·2, de donde a = 2. El número es el 24.

Si b = 5, entonces 5 = a·5, de donde a = 1. El número es el 15.

Si b = 6, entonces 6 = a·8, lo que es imposible por ser a entero.

Si b = 7, entonces 7 = a·11, lo que es imposible por ser a entero.

Si b = 8, entonces 8 = a·14, lo que es imposible por ser a entero.

Si b = 9, entonces 6 = a·17, lo que es imposible por ser a entero.

Como conclusión, existen dos números que cumplen las condiciones dadas y que son solución del problema. Son los números 24 y 15.