Problema 147

Si multiplicas los treinta primeros números naturales, ¿cuántos ceros tiene al final el resultado de dicho producto?

 

Solución:

En el resultado del producto, cada cero al final corresponderá a un factor 10. 

Pero 10 = 2·5 y, por ello, tendrá al final tantos ceros como factores iguales a 5 aparezcan en el producto (pues el número de factores iguales a 2 es superior).

Entre los 30 primeros números naturales, los múltiplos de 5 son {5, 10, 15, 20, 25 y 30}. El número de factores iguales a 5 en cada uno de ellos, aparece en la tabla siguiente:

Múltiplos de 5	5	10	15	20	25	30
Factores iguales a 5 en cada uno de ellos	1	1	1	1	2	1

Así, tenemos 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 7.

Por tanto, el producto indicado acabará en siete ceros.