domingo, 25 de octubre de 2015

Problema 152

Dos números consecutivos de dos cifras cumplen que su suma coincide con el número que se obtiene al invertir el orden de las cifras del mayor de ellos.



¿Cuáles son dichos números?

Solución:

Suponemos que el menor de ellos es el número  n = ab. Es decir, que n = 10 a + b.

El otro número será n + 1 = 10 a + b + 1. 

Y, por tanto, la suma de ambos es:

n + n + 1 = (10 a + b) + (10 a + b + 1) = 20 a + 2 b + 1

Como esta suma coincide con el que se obtiene al invertir las cifras del mayor, coincidirá con el número cuya cifra de las decenas es    b + 1 y cuya cifra de las unidades es a; es decir, coincidirá con 10 (b + 1) + a.

De esta forma:

20 a + 2 b + 1 = 10 (b + 1) + a

20 a + 2 b + 1 = 10 b + 10 + a

19 a - 8 b - 9 = 0

19 a – 9 = 8 b

b = (19 a – 9)/8

Como a y b son dígitos, sólo pueden tomar valores naturales entre 0 y 9.

Si a = 0, b no es natural pues b = - 9/8.

Podemos comprobar que ocurre lo mismo para los valores de a distintos de 3. Sólo si a = 3 se obtiene un valor natural para b, que es b = 6.


Por tanto, los números son 36 y 37.

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